16. 陌生人间我揭示三维国奥秘的一番徒劳

我妻子的告别声刚刚消失,我就开始靠近这位陌生人,打算请他“坐”下来,并借此更近地看看他。一见他的外表,我就目瞪口呆、痴若木鸡。他竟连一点点带角度的征候也没有,但他的大小和光亮程度又每时每刻都在变化着。据我所知,这在任何图形来说几乎都是不可能的。我突然想到,这可能是一个窃贼或强盗,是装成圆的某个邪恶的不规则等腰三角形,不知用什么方法钻进了我的屋子,正打算用他的尖角刺穿我呢!

但我是在房间里,而且目前正值干燥季节,所以没有雾气,这使我很难相信视觉辨认的结果,特别是我现在就站在离他极近的地方。我恐怖极了,竟唐突地向他冲去,说道:“先生,你必须允许我……”一边说,我一边触摸起他来。

我的妻子是对的,他没有角的迹象,也没有一点有棱角或不均匀的地方,在我的生活中,从没有见到过比他更完美的圆了。我从他面前开始,围着他转上一圈。当我绕着他走动时,他一动也不动。我看出他的确是个圆,一个极好的圆,这是毫无疑问的。

后来便是一番谈话。我在这里尽量将原话复述出来,只是把其中没完没了地道歉的话砍掉了一些 —— 我竟斗胆摸了一个圆,事后想起来真是羞愧难当啊。谈话是以来客对我长时间的触摸表示不耐烦开始的。

陌生人:“现在你该摸够了吧?可你还没有自我介绍呢!”

我:“最杰出的阁下,请原谅我的唐突,这不是因为我不懂得文明社会的规矩,而只是惊奇和紧张使然。您的造访实在是太出乎我的意料了。阁下,我恳求您不要把我的失礼行为告诉别人,特别是我的妻子。在和您交谈之前,请您满足一下我的好奇心,让我知道您是从哪里光临的,好吗?”

陌生人:“从空间。我从空间来,先生。不从空间,又能从哪里来呢?”

我:“对不起,阁下。不过就在此刻,您和鄙人不也是在空间里吗?”

陌生人:“非也,非也。你认为什么是空间呢?你能下个定义吗?”

我:“空间就是无限延伸的长和宽,阁下。”

陌生人:“说真的,看来你连什么是空间都不知道呢。你以为空间只是二维的吧?我再告诉你第三个维 —— 除了长和宽以外,还有一个高。”

我:“阁下可真爱开玩笑。我们也把长说成高,把宽说成厚,因此是两个维的四种说法。”

陌生人:“我的意思并不是叫法问题,而是说存在着三个维。”

我:“请您说明一下,这个我所不知道的第三个维在什么方向上?”

陌生人:“就从我来的那个方向上,也就是沿着上和下的方向。”

我:“您的意思是说沿着南和北吧?”

陌生人:“根本不是这个意思。我所指的方向你是看不见的,因为在你的身子边上没有生着眼睛。”

我:“请原谅,阁下。您看一下就会相信,我是生有眼睛的。在我的两条边的相交处有一个发亮的小点,那就是我的眼睛。”

陌生人:“我知道。但为了向空间看,你应当还生有别的眼睛。不是在你的周边上,而是在你身体的侧面。可能你会叫它是你的体内,可在我们三维国,则称之为侧面。”

我:“让我体内长一只眼睛?长在我的肚子里?阁下是在开玩笑吧!”

陌生人:“我可没有开玩笑的闲心。我跟你说过,我是从空间来的,可你不懂得什么是空间,所以我又对你说,我来自一个有三个维的国度,我刚才就从那里俯瞰了你们自称为‘真正的空间’的这个平面。从刚才那个有利的位置,我可以进一步描述你们称之为‘立体’(在你们这里,凡是四面都有边界的,你们都叫它是立体)的东西:称们的住房、教堂、家具、保险箱,甚至你们的内脏,全部暴露在我的视野里。”

我:“嘴上这样说说倒也不难,阁下。”

陌生人:“你的意思是说证明起来可就难了不是?可我这就来证明一下。当我往这儿下降时,我看见了你的四个儿子,他们是五边形,都在自己的房间里;还有你的两个六边形的孙子。我看见你最小的孙子和你在一起呆了一会见,然后回到了自己的房间,这间房子里只留下了你们夫妻二人。我还看见你的三个等腰三角形的仆人在厨房里准备晚饭,另有一个小听差在帮忙洗碗碟。然后我便到这里来了。现在,你认为我是怎么来的呢?”

我:“我想,您说不定是从天花板的什么地方钻过来的。”

陌生人:“不对,你很清楚,你的屋顶最近刚刚修缮过,甚至连个能让女人钻过的缝隙都没有。告诉你,我是从空间来的。我已经对你讲了有关你的孩子和家庭的情况,你还不相信我是从空间来的吗?”

我:“阁下一定很清楚,象您这样一位能拥有广泛情报来源的贵人,要想从我周围了解到一些鄙人家里的私事,不是易如反掌吗?”

陌生人:(自言自语)“我该怎么办?对了,我又想起了一招。 —— 当你看一段直线,比如看你的妻子时,你认为她是几维的呢?”

我:“听阁下同我谈话的口气,就好象我是个粗人,对数学一无所知似的,所以觉得我会认为女人真地是一段直线,只具有一个维。不,不,不,阁下。我们四边形多少是喝过些墨水的,因此能象您一样,知道妇女虽然一般被称做直线,其实科学地说是一个极细长的平行四边形,因此有两个维,同其它人一样有长有宽。”

陌生人:“正因为有三个维,你才能看见这条所谓的线呢!”

我:“阁下,我刚刚说过,妇女是有宽度和长度的。我们能看见她的长,推断出她的宽,宽度虽然极小,但也能测量出来。”

陌生人:“你没有明白我的意思。当你看见一位妇女时,你应该 —— 除了推测她有宽度之外 —— 看见她的长,也应当看见她的我们称之为“高”的东西的存在,虽然最后这一个维在你的国家里是无穷小的。如果一条直线只有长而没有高,它就不再占有空间而变为不可见的了。你真地没有认识到这一点吗?”

我:“我承认我一点儿也不明白您的意思。我们在二维国看一条线时,是凭借长度和亮度看见的;如果光亮消失了,就说明这条线已不复存在了,也就象是你说的不再占有空间了。据我猜想,你所说的另一个维,就是这个我们称之为‘亮度’的东西吧,只是你们称之为‘高’就是了。对吗?”

陌生人:“不。我所说的高,就象你们的长度一样,也是一个维,只是在你们这里,高度一概是极小的,因而不易觉察出来罢了。”

我:“阁下,对您所说的是很容易加以验证的。您说我具有你们称之为‘高’的第三维。那好吧,维是有方向和大小的。那就请您测量一下我的‘高’,或者指一下我的‘高’是沿什么方向延伸的吧。如果您能叫我知道,我就会信服您,否则就只好对您所说的敬而远之了。”

陌生人:(自言自语)“既测量不出来,也无法对他指出?怎样能使他信服呢?有了,先对他说几个事实,然后再实际演示一下让他看看,这肯定就能行了。 —— 请再听我说,先生。”

“你生活在一个平面上。设想你称之为二维国的世界,就是人们称之为流体这个东西的广大的表面,你和你的国民们就在这个面上,或者说在这个面里活动,但是不能上升或下降。

“我不是平面图形,而是一个立体。你称我为圆,可实际上我不是圆,而是叠在一起的无数多个直径从零至十三英寸的种种大小不等的圆。当我切入你的平面时,就会在这个面上截成一个图形,这就是一个圆。瞧,我现在就是这样做的。因为对于一个球来说 —— 球就是我在我那个国家里的名称 —— 如果能向二维国民表示出自己的形状的话,也只能表现为一个圆。

“你记不记得你昨夜的一维国之行? —— 我是什么都能看见的,因此我已经看到了你脑子里存留的有关幻象。喂,你记不记得,在你进入一维国时,是如何不得不在国王面前显现为一条线而不是四边形的?那是因为一维国只有一个维,因而不足以表示出你的全貌的缘故。现在的情况也完全类似。你们二维国也同样没有足够的地方来让我表现出自己的全貌;我是个三维形体,因此在这里只能显现我的一个断面,这也就是你称之为圆的图形。

“你的眼神有点暗淡,这表明你仍不肯相信。但现在我就要用确凿的证据表明,我告诉你的都是真理。既然你没有能力把你的眼睛抬出你的平面之外,你就只能看到我的一个断面,也就是说,每次只能看见一个圆。可当我在空间上升时,你至少会看见我在平面上的断面是逐渐变小的。现在你来看,我升起来了……你看见的圆正变得越来越小,直到缩成一个点,并且最后消失。”

我看不见他的上升,只是看到这个圆一点点变小,最后便消失了。我眨了好几次眼睛,为的是弄明白是不是在做梦。这不是梦。从空中不知何处传来了飘渺的声音 —— 它好象就贴在我的心口:“我离开了吧!好,现在我再渐渐回到二维国来,你会看见我的断面越来越大。”

图 8
                                             球即将消失的一瞬
                          球正在升起             _____
                             _____           _.-"     "-._
                         _.-"     "-._      /             \
       球的最大截面     /             \    |               |
         _____         |               |  |                 |
     _.-"     "-._    |                 | |                 |
    /             \   |                 | |                 |
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在三维国的每个读者都很明白,我这位神秘的客人所讲的话明摆着都是真实的。但我虽然说是二维国里一个精通数学的人,可这对于我却不是那么简单明白的事情。三维国里哪怕随便一个孩子,看了上面的那张很大略的图解,都会明白这是一个球在三维空间里上升时,对我或任一个二维国民表现为一个圆,而且开始时最大,然后就变小,最后变得极小,近似于一个点。而我却虽然看见了眼前的事实而依然感到莫名其妙。我所能理解的,只不过是这个圆使他自己变小和消失,然后又重现并迅速变大。

当他又恢复到原来的大小时,大声地叹了一口气,因为他从我的沉默中觉察到我仍完全不理解。确实,现在我倾向于相信他全然不是个圆,而可能是个高明的魔术师,要不然就是真象有些老婆婆们所说的那样,世上毕竟还有巫师方士之类的人。

又沉默了许久之后,他又自言自语了:“如果我不靠行动证明的话,至少还能有一个办法,那就是试一试类推法。”

随后,他又同我讲起话来。

球:“数学家先生,请告诉我,如果一个点向北移动,留下一条发亮的轨迹,你称这条轨迹为什么?”

我:“一条直线。”

球:“一段直线有几个端点?”

我:“两个。”

球:“现在设想这条线沿东西方向移动,它的每一个点所产生的轨迹都形成一条直线,这样形成的图形叫什么?我们假设这段线平移的距离与其本身等长。说说看这叫什么?”

我:“一个四边形。”

球:“一个四边形有几条边?几个角?”

我:“四条边、四个角。”

球:“再开动一下脑筋,想象一下在二维国里有一个四边形一致地向上移动它自身。”

我:“向哪里?向北吗?”

球:“不,不是向北,是向上,完全脱离二维国。”

“如果这个四边形向北移,它在南边的点必定会通过北边的点原先所占据的位置。这个不是我的意思。

“我的意思是你身上 —— 因为你就是个四边形,所以我就以你为实例来说明 —— 的每一个点,也就是你认为位于你身体内部的每一个点都向上通过空间,使你身上没有一个通过其它一个点原先所占据的位置,但每一个点本身都描绘出等于自己的一条直线。这正是地地道道的类推法。你一定明白了吧?”

现在我真感到一种强烈的冲动,想不顾一切地冲向这位来访者,把他抛出去,把他赶出二维国,把他弄到随便什么地方去,以使我能摆脱他。但我还是极力克制住了自己的厌烦情绪回答道:“你乐于用‘向上’这个字眼来表示的这种运动使我形成的这个图形会有什么性质呢?我想,用我们二维国的语言是可能描述出来的吧?”

球:“当然,这一切都是简单明了的,而且完全可以类推出来。顺便也得提一下,你不能说结果得到的是一个平面图形,而是一个立体,我会向你描述它,更确切他说,是类推法会向你描述它。

“开始,我们是有一个点。当然,既然它本身只是一个点,所以只有一个端点。

“一个点产生一条线,它有两个端点。”

“一条线产生一个四边形,它有四个端点。”

“现在你能回答你自己的问题了:1,2和4,显然是几何级数。它的下一项是什么?”

我:“8。”

球:“对。这个四边形产生了一个你不知道的东西,我们称之为立方体,它有八个端点。现在你相信了吧!”

我:“这种东西有边吗?有角吗?有你们所谓的端点吗?”

球:“根据类推法来看,它当然都有。但是还得提一句,它的边可不是你们的那种边,而是我们所说的‘面’,也就是你们所说的立体。”

我:“那么,由我的身体向这个所谓‘上’的运动而产生的这个你叫做立体的玩艺儿有几个立体,也就是你所说的面?”

球:“你怎么也问起来了?你不是个数学家吗?任何物体所有的‘边’ —— 这里是笼统地一概这样称谓的 —— 总比具有它的物体在维数上低一个。一个点没有维,它有零个边;一条线可以说有两个边 —— 因为可以称一条线的两端为它的边;一个四边形有四个边。于是便有0,2和4。你叫它什么级数?”

我:“算术级数。”

球:“下一项是几?”

我:“6。”

球:“太对了。你看你已经回答了自己的问题。由你产生的这个立方体由六个边组成,也就是说,有六个你的身体。你现在全明白了,嗯?”

“你这个大怪物!”我厉声叫道,“你这个变戏法的,弄巫术的,托恶梦的,耍花活的东西!我再也不能容忍你对我的耍弄了!我跟你拼个你死我活!”一边说着,我一边向他奋力冲去。